Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

Solución

17Dada la distribución estadística:

Calcular:

Hallar:

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por M_o.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M_o= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9M_o= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

L_i es el límite inferior de la clase modal.

f_i es la frecuencia absoluta de la clase modal.

f_i--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.

f_i-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

a_i es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

Ejemplo

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por M_e.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

es la semisuma de las frecuencias absolutas.

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a_i es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

100 / 2 = 50

Clase modal: [66, 69)

Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

es el símbolo de la media aritmética.

Ejemplo

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

Propiedades de la media aritmética

1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.

Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =

= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.

4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

1 La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.

4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.

LAS CARACTERISTICAS GLOBALES DE UN CONJUNTO DE DATOS ESTADISTICOS PUEDEN RESUMIRSE MEDIANTE PARAMETROS ESTADISTICOS.

LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL SE LOCALIZAN EN LA PARTE MEDIA DE UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS, CUYA UTILIZACION VARIA DE ACUERDO CON LO QUE DESEE EL CONJUNTO DE DATOS RECOLECTADOS.

LAS MEDIDAS DETENDENCIA CENTRAL TIENE COMO OBJETIVO EL SINTETIZAR LOS DATOS DE UN VALOR REPRESENTATIVO.

MODA:

SE DEFINE COMO EL VALOR DE UNA VARIABLE QUE POSEE UNA FRECUENCIA MAYOR QUE LOS RESTANTES.

UN GRUPO DE VALORES PUEDE TENER VARIAS MODAS. UNA SERIE DE VALORES CON SOLO UNA MODA SE DENOMINA UNIMODAL.

MEDIANA:

DADO UN CONJUNTO DE VALORES, SU MEDIANA SE DEFINE COMO EL VALOR NUMERICO TAL QUE SE ENCUENTRA EN EL CENTRO DEL MISMO CONJUNTO DE DATOS.

MEDIA O MEDIA ARITMETICA:

CORRESPONDE AL PROMEDIO DE LOS DATOS.

La ojiva es el polígono de frecuencias acumuladas, es decir, que en ella se permite ver cuántas observaciones se encuentran por encima o debajo de ciertos valores, en lugar de solo exhibir los números asignados a cada intervalo.

La ojiva apropiada para información que presente frecuencias mayores que el dato que se está comparando tendrá una pendiente negativa (hacia abajo y a la derecha) y en cambio la que se asigna a valores menores, tendrá una pendiente positiva. Una gráfica similar al polígono de frecuencias es la ojiva, pero ésta se obtiene de aplicar parcialmente la misma técnica a una distribución acumulativa y de igual manera que éstas, existen las ojivas mayor que y las ojivas menor que.

Existen dos diferencias fundamentales entre las ojivas y los polígonos de frecuencias (y por esto la aplicación de la técnica es parcial):

Un extremo de la ojiva no se toca al eje horizontal, para la ojiva "mayor que" sucede con el extremo izquierdo; para la ojiva "menor que", con el derecho.

En el eje horizontal en lugar de colocar las marcas de clase se colocan las fronteras de clase. Para el caso de la ojiva mayor que es la frontera menor; para la ojiva menor que, la mayor.

Las siguientes son ejemplos de ojivas, a la izquierda la "mayor que", a la derecha la "menor que", utilizando los datos que se usaron para ejemplificar el histograma:

La ojiva "mayor que" (izquierda) se le denomina de esta manera porque viendo el punto que está sobre la frontera de clase “4:00″ se ven las visitas que se realizaron en una hora mayor que las 4:00 horas (en cuestiones temporales se diría, sin errores de gramática: después de las 4:00). De forma análoga, en la ojiva "menor que" la frecuencia que se representa en cada frontera de clase son el número de observaciones menores que la frontera señalada (en caso de tiempos sería el número de observaciones antes de la hora que señala la frontera).

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras de un diagrama de barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

Ejemplo

Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

Hora	Temperatura
6	7º
9	12°
12	14°
15	11°
18	12°
21	10°
24	8°

Polígonos de frecuencia para datos agrupados

Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo de un histograma.

Ejemplo

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

Polígono de frecuencias acumuladas

Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.

En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. Sirven para obtener una "primera vista" general, o panorama, de la distribución de la población, o la muestra, respecto a una característica, cuantitativa y continua, de la misma y que es de interés para el observador (como la longitud o la masa). De esta manera ofrece una visión en grupo permitiendo observar una preferencia, o tendencia, por parte de la muestra o población por ubicarse hacia una determinada región de valores dentro del espectro de valores posibles (sean infinitos o no) que pueda adquirir la característica. Así pues, podemos evidenciar comportamientos, observar el grado de homogeneidad, acuerdo o concisión entre los valores de todas las partes que componen la población o la muestra, o, en contraposición, poder observar el grado de variabilidad, y por ende, la dispersión de todos los valores que toman las partes, también es posible no evidenciar ninguna tendencia y obtener que cada miembro de la población toma por su lado y adquiere un valor de la característica aleatoria-mente sin mostrar ninguna preferencia o tendencia, entre otras cosas.

En el eje vertical se representan las frecuencias, es decir, la cantidad de población o la muestra, según sea el caso, que se ubica en un determinado valor o sub-rango de valores de la característica que toma la característica de interés, evidentemente, cuando este espectro de valores es infinito o muy grande el mismo es reducido a sólo una parte que muestre la tendencia o comportamiento de la población, en otras ocasiones este espectro es extendido para mostrar el alejamiento o ubicación de la población o la muestra analizada respecto de un valor de interés.

En general se utilizan para relacionar variables cuantitativas continuas, pero también se lo suele usar para variables cuantitativas discretas, en cuyo caso es común llamarlo diagrama de frecuencias y sus barras están separadas, esto es porque en el "x" ya no se representa un espectro continuo de valores, sino valores cuantitativos específicos como ocurre en un diagrama de barras cuando la característica que se representa es cualitativa o categórica. Su utilidad se hace más evidente cuando se cuenta con un gran número de datos cuantitativos y que se han agrupado en intervalos de clase.

Ejemplos de su uso es cuando se representan franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores.

Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.

Cálculos con Datos Tabulados.

Cada vez que se usa valores tabulados para calcular estadísticas, éstas difieren de los que obtendríamos con los datos originales. Sin embargo, esta discrepancia es reducida y, habitualmente, no invalida los resultados porque al elegir la marca de clase como el punto central de cada intervalo, algunas veces éste será menor y otras mayor que las observaciones que representa. En consecuencia, las diferencias tienden a compensarse. Por otra parte se debe tener presente que al trabajar con datos de una muestra sólo se tiene información incompleta para representar a toda la población. Es más, si se extrae otra muestra, ésta sería diferente de la primera y los valores calculados en diversas estadísticas serían distintos. En consecuencia, no se debe perder de vista este importante hecho al momento de usar e interpretar instrumentos de cálculo estadístico que, por su naturaleza, siempre estarán contaminados por errores provenientes de diversas fuentes.

Resumiendo lo anterior, si se parte del hecho que los datos usados para el trabajo estadístico son cambiantes de muestra a muestra, no debiese preocupar mucho la presencia de pequeñas discrepancias motivadas por la representación de datos mediante marcas de clases.

Lo anterior es característico del trabajo estadístico, por lo que no es prudente aferrarse a mecanismos rígidos de análisis cuando la base sobre la que se apoyan está sujeta a variaciones inevitables. Es necesario aprender a extraer lo medular de una información y no enredarse en los detalles.

Ejemplo.

Suponga que interesa calcular la suma de las estaturas de la Tabla 1 de la sección 'Tabligrama', a partir de la tabulación hecha anteriormente.

Para esta suma se usa la marca de clase como el valor de cada observación en el intervalo que, multiplicado por la frecuencia, nos da la suma parcial. La suma de éstas es 5692.5. Si se suma los datos originales, se obtiene 5667. La diferencia de 25.5 es sólo un 0.45% del valor original.

Cálculo del promedio con datos agrupados. 

El cálculo del promedio, cuando sólo se dispone de datos agrupados, sigue el patrón usado en el ejemplo anterior. Como se vió, la suma de los datos, 5692.5, se obtuvo usando las marcas de clase. Asimismo, el número total de datos se calcula al sumar las frecuencias de cada intervalo. En este caso se tiene 1+11+13+6+4 = 35. 

Por lo tanto el promedio está dado por el cuociente  

5692.5/35 = 162.64286

Determinación de los intervalos.

Las dos tablas siguientes representan las notas en la escala de 1 a 7, de la Primera Prueba de Cátedra de 15 alumnos de un curso de Estadística en Primer Año de Universidad. La primera tabla se hizo según un mecanismo automático y la otra de acuerdo a la división ‘natural’ del recorrido de las notas

Existen varias reglas automáticas para determinar el número de intervalos a usar en la construcción de una tabla. 

Existen varias reglas automáticas para determinar el número de intervalos a usar en la construcción de una tabla. Los programas estadísticos de uso habitual, las usan a menudo en su configuración estándar, aunque también permiten que el usuario decida por su cuenta las características de los intervalos que desea usar.

Una de las reglas más conocidas fue propuesta por Herbert Sturges y calcula el número k de intervalos mediante la expresión

k = 1 + log2(n) = 1 + 3.322 * log(n)

donde n es el tamaño de la muestra.

Al aplicar la Regla Sturges con n = 15, se obtiene un total de 5 intervalos. Su aplicación ‘automática’ entrega la siguiente tabla:

Si, por otra parte, se analiza los datos según el punto de vista del usuario, resulta mejor construir esta otra tabla

Al comparar las tablas anteriores, se puede ver que la segunda puede ser interpretada en forma mucho más útil. En particular, porque la nota cuatro tiene un sentido especial dentro del sistema de calificaciones, ya que es la menor nota de aprobación.Es claro entonces que, en este caso, un resumen estadístico debe permitir determinar el número de aprobados y reprobados en un examen.

Tablas Univariadas.

Intervalos y Frecuencia.

La construcción de tablas es uno de los procesos más comunes en estadística descriptiva. Como se ha dicho en párrafos anteriores, cuando los datos están medidos en una escala numérica continua, la construcción de tablas para presentar su información, se hace mediante la partición del recorrido de los valores de la muestra en una serie no muy grande de intervalos. Para confeccionar la tabla, se comienza fijando el número total de intervalos contiguos y el ancho de cada uno de ellos. La tabla se construye de modo que los intervalos que la componen, sean semi-abiertos por la derecha. De este modo, el límite inferior pertenece al intervalo, pero el superior no.

Usando notación matemática, se puede decir que si el límite inferior es a y el superior b (a<b), entonces el intervalo semi-abierto por la derecha se escribe [a,b[.

Esto significa que el número x pertenece a [a,b[ si y sólo si a <= x < b.

Para ilustrar lo anterior, se hará una tabla con las estaturas de las personas de género femenino en Tabla 1 mostrada en la sección 'Tabligrama'. Se elige como primer intervalo a [150,155[, seguido de [155,160[, de [160,165[, etc. Estos intervalos se escriben uno bajo el otro y a su derecha se pone la frecuencia con que aparecen datos en él. Por lo tanto, se tiene

La tabla anterior resume la información original, de modo que se dispone de una visión global en la que cada dato sólo es representado por su pertenencia a un y sólo un intervalo. Esta pertenencia queda reflejada en las frecuencias correspondientes.

Marcas de Clase.

La presentación tabulada, tiene la ventaja de resumir, a un tamaño fácilmente observable, incluso a grandes conjuntos de datos. Sin embargo, al no disponer de los datos originales, hay que buscar un sustituto de éstos que permita calcular estadísticas de interés. El sustituto que se usa se denomina 'marca de clase' y es el punto medio de cada intervalo de la tabla. En los cálculos realizados bajo estas condiciones, cada dato en un intervalo, es reemplazado por la marca de clase correspondiente. En la tabla siguiente se indica la tabulación original seguida de otras columnas donde aparecen sucesivamente la marca de clase mi, la frecuencia acumulada F.AC., la frecuencia relativa F. REL. y la frecuencia relativa acumulada FR.AC. Estas últimas se calculan dividiendo la frecuencia y la frecuencia acumulada, por el tamaño de la muestra.

A modo de ejemplo, veamos el segundo intervalo. Está compuesto por los números pertenecientes a [155, 160[. La frecuencia observada para este intervalo, es 11. La marca de clase es el promedio entre los extremos 155 y 160, es decir 157.5.